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数学领域的三体问题

文章作者:管理一号 | 2019-07-11
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来历:全世界科学

《三体》系列无疑是近年来国内最具影响力的科幻小说了,但你知道,曾有一位法国总理也研讨过三体问题嘛?而且,他还提出了一个与三体问题密切相关的重要猜想,直到近百年后才被一位我国数学家部分处理……

数学领域的三体问题

科幻小说《三体》的故事布景,是距离地球4光年的半人马座α星中,一个由3颗恒星和一颗行星构成的星系。在互相的引力作用下,这3颗恒星的作业轨迹极不安稳,随时或许让仅有的行星进入极寒或极热的“乱纪元”、摧毁三体文明。为了脱离这三个“太阳”凌乱的引力场环境,三体人试图侵略地球,拉开了这个故事的序幕。

而在数学中,“三体问题”相同存在。这是一个与牛顿的万有引力相关的古典数学问题:假设有三个星体(不论恒星仍是行星)通过万有引力互相吸引——这就好像三个人在一起谈恋爱,情况会变得非常凌乱——大多数景象下这样的三体问题不存在解析解。也就是说,虽然方程可以写出来,但任何星体的运动轨迹却解不出来。

1885年,瑞典国王奥斯卡二世悬赏了一大笔钱,他希望科学家能证明太阳系的安稳性。这个问题其实就是所谓的N体问题,N标明星体的数目。最简略的情况是N取2,那早已经被牛顿之前的开普勒所处理;假设N取3,就是三体问题。在这个意义上,小说中的“三体”,其实是数学上的四体问题,因为三体星系中不只需三颗“太阳”,还有三体人居住的行星。

法国大数学家庞加莱参加了这个学术比赛,他被誉为“终究一个既懂物理、又懂数学的百科全书式”数学家——他后来还在爱因斯坦之前研讨过狭义相对论,相对论这个词就是他提出的。(所以在狭义相对论中存在“庞加莱转换”)

庞加莱希望找出描绘三体问题的“求根公式”。三体问题对应的是微分方程祖,他希望找到微分方程的通解,而且将这个解推广到N体问题。

通过整整三年的极力,庞加莱发现这个三体问题无法被完全处理。但庞加莱仍是把自己3年来夙兴夜寐的研讨作用寄到论文鉴定委员会,他在论文开始他沮丧地写道:“繁星是无法跨越的。”

庞加莱的论文虽然没有完全处理三体问题,但他仍是取得了重要展开——他发现了三体问题其实是一个混沌系统,而且在研讨进程中他展开了微分方程的定性分析,这相当于把微分方程理论与拓扑学进行了结合。所以,他仍是在1888年获得了瑞典国王供应的奖金。

庞加莱的研讨标明,三体问题中星体的运动轨迹虽然解不出来,但这个轨迹全体来说是禁不起微扰的,所以轨迹不可以被长时间猜想。这就比方气候也无法完结长时间的猜想,因为气候系统是混沌的。一般景象下的三体问题终究都会导致混沌,也就是说,我们无法猜想某一个星体长时间的运动轨迹。

潘勒韦猜想

但这个作业还没完。

与庞加莱同时代还有一个法国人也在研讨三体问题,而且他的身份非常特别。他不但是一位数学家,还早年两度担任法国总理。这个人就是保罗·潘勒韦(Paul Painlevé,1863年-1933年)。

保罗·潘勒韦

潘勒韦曾在出名的巴黎高档师范学校学习。获数学博士学位后,潘勒韦先后在里耳大学、巴黎大学等学校任教。在任教期间,他也参加了瑞典国王奥斯卡二世举办的学术比赛,研讨三体问题。

和庞加莱相同,潘勒韦也是通过微分方程研讨三体问题。虽然潘勒维的学术作用没有庞加莱那么高,但也算颇有建树。1895年,他在一次讲座中提出了一个猜想,历史上称为“潘勒韦猜想”(Painlevé conjecture):在几个星体通过万有引力互相作用的情况下,或许出现这样一种情况,那就是其间某个星体有或许在有限时间内,被其他星体甩到无限远的当地去。

潘勒韦的这个猜想指出了N体问题中的某种或许性,那么为什么一个星体可以被其他星体架空呢?这与N体问题中凌乱的引力有关。

这些星体之间存在万有引力。表面上看,引力让星体互相吸引,但就像荡秋千相同,假设秋千的摆长是周期性改动的,秋千或许越荡越高,终究荡秋千的人会飞出来。在潘勒维猜想中,也存在类似的情况:假设某个星体的速度很快,而且在运动进程中被凌乱的引力场一次次地加速,那么它就很或许被甩到无限远处。(作为数学问题,这儿只考虑经典的牛顿万有引力,不考虑相对论效应:星体的速度也可以大于光速。)

部分处理

潘勒韦自己提出了这个猜想,但处理不了。所以,他跑去当官了。1906年,潘勒韦当选为众议员,在内阁中任教育部长和发明部长。1917年,他担任了法国总理——虽然时间很短,但这已经是数学家出任政府官员的最高职位了。而在1925年,他再次出任法国总理。这种梅开二度的总理型数学家,历史上只需他一个。

但潘勒韦猜想却成为数学界的一个经典猜想,一贯悬而未决。直到近100年后,来自我国的数学家夏志宏在美国西北大学读博期间,证明了在至少5颗星体存在的情况下,潘勒韦描绘的场景是可以树立的。这相当于证明了N≥5时,“潘勒韦猜想”是正确的。他的相关论文宣告在1992年的《数学年鉴》上。

夏志宏证明5体问题的“潘勒韦猜想”的论文

而四体问题的潘勒韦猜想,也就是小说《三体》中的设定,至今还没有处理。

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