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数学家如何通过拓扑学验证莫比乌斯环嵌入空间的问题

文章作者:管理一号 | 2019-03-26
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制图:Olena Shmahalo/Quanta Magazine

来历:举世科学

在数学中,无限的空间应当可以包容无限多的东西,从原子、细菌到无限多的行星都不在话下。可是,莫比乌斯环(Möbius band)是个破例。莫斯科州立大学的数学家Olga Frolkina最近证明了,闻名的莫比乌斯环不能被无限次地压缩进无限大的空间中。在这篇精(bu)彩(ming)纷(jue)呈(li)的文章中,你将看到数学家怎么经过拓扑学验证莫比乌斯环嵌入空间的问题。

不同的无限,巨细也不尽相同。从1到无穷大的自然数调集便是最小的无限之一。自然数的调集是可数的。任何一组无限的目标,例如将无限多的原子、行星放进三维空间里,它都是可数的。理论上,你可以给一切的行星编号。

有些数集太大而无法将其间的目标逐个列出。例如,实数包含数轴上的每一个点,乃至像π这样古怪的、具有无尽不重复小数部分的点也在内。运用由19世纪德国数学家康托尔提出的对角化(diagonalization)论证法,咱们可以证明,即使是一个无限大的实数列表,也或许是不完整的。实数集显着大于自然数集。它是“不行数”的无限,或简称“不行数”。

变具象的数学

尽管如此,不行数的目标调集依然可以存在。幻想一下,怎么把一个不行数的圆筒调集塞进三维空间,而不让它们相互触摸。要做到这一点,你只需将一切的圆筒置于同一个轴上,使它们的直径别离对应于数轴上不行数点中的一个。这些圆筒会像一套数不尽的俄罗斯套娃,由内而外嵌套在一起。

乍一看,好像莫比乌斯环能以类似的办法嵌套在一起。可是假如你试着在一个莫比乌斯环里边嵌套第二个环,你会发现第二个环将在第一个环的外部闭合。

关于上述的圆筒,咱们很简单能区别它的内外侧。而这关于莫比乌斯环是不行能的,由于它是一类被称为非定向流形(non-orientable manifold)的有形数学目标——当你绕着它在空间中转一圈时,是无法区别固定的内外侧的。

Frolkina尽管证明了莫比乌斯环无法像圆筒相同嵌套在一起,但并没有否定它们能以更奇妙的办法嵌套的或许性。这一证明的亮点在于,它向咱们展现了莫比乌斯环无法像圆筒那样嵌套的原因。

 

Frolkina的成果立足于一个名为点集拓扑学(point-set topology)的范畴。在上世纪50至60年代,数学家们相继证明了将一系列物体(例如圆盘、中空球体)嵌入进三维空间的理论。

可以说,研讨者们正在使笼统的数学变得具象。拓扑学有点像简化的几何学:重要的不是准确的形状和间隔,而是大规范的结构。

两种嵌入办法

在几何学中,球面是空间中与一个原点等距的一切点的调集,但在拓扑学中,将前面的结构随意揉捏、拉伸变形,只需不将其撕裂或许粘合,它都算是一个球面。在空间中准确定位拓扑球的办法被称为嵌入。一个球可以以许多不同的办法嵌入三维空间,不管是像肥皂泡相同的完美圆球形、延展成腊肠相同的形状,仍是像变形虫的细胞膜相同摇晃改变,只需这些形状满足球的界说即可。

上面比如中的嵌入被称为“驯良”嵌入(tame embedding)。驯良嵌入可以在整个空间内延展,因而拉伸或揉捏空间,可以使嵌入球面变为规范圆球形。

与此相对应,“非驯”嵌入(wild embedding)则很难可视化,一般需求运用无限来进行描绘。非驯嵌入版的球面无法经过空间变形转化成圆球形。

例如,为构建亚历山大带角球(Alexander horned sphere),首要需从一个类似于甜甜圈外表的圆环上切下一段,在堵截后留下的空地两边别离衔接两个互锁的圆环面,并如此重复:堵截每个次级圆环,刺进一对互锁的小圆环,随后堵截更小的圆环。无数次履行这个置换进程后,你就可以得到亚历山大带角球。尽管证明该目标在拓扑学上是一个球体并不繁琐,但它对错驯嵌入的。将它扩大后,你能在越来越小的规范上看到互锁的“角”。

非驯嵌入的亚历山大带角球

像亚历山大带角球那样的非驯嵌入很难被塞进空间里。早在20世纪中叶,数学家R.H.Bing就证明了假如嵌入是驯良的,就可以将不行数无限的球面和圆环面不堆叠地嵌入三维空间。可是,圆盘就大不相同了:将不行数的圆盘不堆叠地嵌入空间中是可行的,不管它们是否驯良。

三维与更高维度

那么莫比乌斯环可以像这样被嵌入空间中吗?1962年,俄罗斯数学家Victor Vasilievich Grushin 和 Victor Pavlovich Palamodov证明了,不行数个驯良嵌入的莫比乌斯环无法被不相交地嵌入进三维空间中。可是,这对非驯嵌入的莫比乌斯环是否相同建立仍无定论。

Frolkina参阅了他们和Bing等点集拓扑学家的作业,将定论延展到了非驯嵌入的莫比乌斯环上。她在论文平分解了嵌入的外表,并剖析了这些切片在空间平散布的办法。

Frolkina还在高维空间中研讨了类似问题。她考虑了n维(n≥3)的非定向流形,并指出:这些流形中只要可数的办法可以驯良地嵌入n+1维的空间中。

她的作业并没有包括这些高维情况下的非驯嵌入。可是,莫斯科斯泰克洛夫数学研讨所的数学家Sergey Melikhov审理了她的论文后,扩展了她的作业。Melikhov运用更笼统的代数办法消除了Frolkina的定论在更高维度中的驯良约束。二者的作业证明了不管是运用非驯仍是驯良嵌入,将不行数无限个非定向流形压缩到空间中都是绝无或许的。

点集拓扑的研讨已不及60年代风景,可是Melikhov以为在另一个活泼的拓扑研讨范畴——纽结理论中,一些敞开性问题具有“点集风格”。深化了解非驯嵌入或许在这一范畴内非常有用。从某种意义上说,纽结理论中遍及存在着非驯性,由于大多数纽结都对错驯嵌在周围的空间中的。这些非驯嵌入招引了Frolkina,由于它们挑战了人类了解的极限。拓扑学家一般把他们的研讨限制在符合直觉的空间问题上,可是“当你发现一个非驯的目标,或许一个与你的直觉相对立的目标时,转折点就呈现了。”

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